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terça-feira, 5 de outubro de 2010

Inequação

  

   Inequações do Primeiro Grau    
Quando comparamos dois números reais a e b , somente uma das três afirmações é verdadeira: a < b  ou  a = b  ou  a > b

Se os números a e b forem distintos, então a < b ou a > b e dizemos que a e b são desiguais, isto é, existe entre eles uma desigualdade.

Vejamos alguns exemplos de desigualdades, todas verdadeiras:

4 é menor que 7  4 < 7
32 é maior que 11  32 > 11
- 12 é menor que 0  - 12  < 0
7/2 é maior que 2/3  7/2 > 2/3

Vejamos agora algumas sentenças abertas representadas por desigualdades:

 O dobro de um número é maior que 8   2x > 8 

 O consecutivo do triplo de um número é menor que menos 14     3x + 1 < - 14 

 A metade do triplo de um número não é maior que 5   
     Se o número não é maior que cinco, ele pode ser menor ou igual a cinco    

 O quádruplo de um número adicionado a sua metade não é menor que 0  
     Se a expressão  não é menor que zero, ela pode ser maior ou igual a zero    

A essas sentenças abertas denominamos


  Inequação é uma sentença aberta expressa por uma desigualdade entre duas expressões algébricas.  
A letra x em cada uma das desigualdades é denominada incógnita ou variável e cada expressão algébrica são os membros da 
inequação. O membro à direita é o 1º membro e a expressão situada à esquerda é o 2º membro da inequação. Todas as quatro 
inequações apresentadas são Inequações do primeiro grau, já que o grau da variável x é 1.


   Solução de uma Inequação    
Consideremos, como exemplo, a inequação  

Se a expressão 3x + 7 precisa ser maior que 16  3x precisa ser maior que 9. E dessa forma, x precisa ser maior que 3. 

Se o Conjunto Universo dessa inequação for o conjunto dos naturais ou o conjunto dos números inteiros, x poderá ser qualquer inteiro 
maior que 3.  { 4; 5; 6; 7; ... }

Se o Conjunto Universo dessa inequação for o conjunto dos números racionais, x poderá ser qualquer racional maior que 3. 
 { 3,01; ... 3,012;..., 3,333...;.... 4;... 4, 3; .... }

Se o Conjunto Universo dessa inequação for o conjunto dos números reais, x poderá ser qualquer real maior que 3. 
 { 3,01; ... 3,011 ;... 4;...  ; ...7, 81; ... }


   Sentido de uma Inequação    
 As inequações: 5x + 7 > 3  e  2 + 5x > 0 têm o mesmo sentido, pois possuem o mesmo sinal de desigualdade.

 As inequações: 2x - 7 < - 2  e  4x < 7  têm o mesmo sentido, pois possuem o mesmo sinal de desigualdade.

 As inequações: x + 11 > 1  e  1 - 7x < 1 têm sentidos contrários, pois possuem sinais diferentes de desigualdade.

 As inequações: 8 - x < - 3x  e  6x > 11  têm sentidos contrários, pois possuem sinais diferentes de desigualdade.


   Propriedades das Desigualdades    

  Propriedade I - Uma desigualdade não se altera que quando adicionamos ou subtraímos um mesmo número a  ambos de seus membros.  
Consideremos a desigualdade 7 > 4. 
Se adicionarmos 3 unidades a cada membro, teremos : 7 + 3 > 4 + 3  10 > 7
Se diminuirmos 4 unidades de cada membro, teremos : 7 - 4 > 4 - 4  3 > 0
Em ambos os casos as desigualdades mantêm o mesmo sentido.

Consideremos a desigualdade - 5 < 2. 
Se adicionarmos 1 unidade a cada membro, teremos : - 5 + 1 < 2 + 1  - 4 < 3
Se diminuirmos 2 unidades de cada membro, teremos : - 5 - 2 < 2 - 2  - 7 < 0
Em ambos os casos as desigualdades mantêm o mesmo sentido.


  Propriedade II - Uma desigualdade não se altera que quando multiplicamos ou dividimos ambos de seus membros  por um mesmo número positivo.  
Consideremos a desigualdade 6 > 4. 
Se multiplicarmos cada membro por 8, teremos : 6 x 8 > 4 x 8  48 > 32
Se dividirmos cada membro por 2, teremos : 6 : 2 > 4 : 2  3 > 2
Em ambos os casos as desigualdades mantêm o mesmo sentido.

Consideremos a desigualdade - 8 < 10. 
Se multiplicarmos cada membro por 3, teremos : - 8 x 3 < 10 x 3  - 24 < 30
Se dividirmos cada membro por 4, teremos : - 8 : 4 < 10 : 4  - 2 < 2,5
Em ambos os casos as desigualdades mantêm o mesmo sentido.


  Propriedade III - Uma desigualdade muda de sentido quando multiplicamos ou dividimos ambos de seus membros  por um mesmo número negativo.  
Consideremos a desigualdade 12 > 5. 
Se multiplicarmos cada membro por - 7 , teremos : 12 x (- 7) > 5 x (- 7)  - 84  < - 35  
Se dividirmos cada membro por -  2, teremos : 12 : (-  2) > 5 : (-  2)   -  6  < -  2,5 
Em ambos os casos as desigualdades mudaram de sentido.

Consideremos a desigualdade - 4 < 12. 
Se multiplicarmos cada membro por - 2, teremos : - 4 x ( - 2 ) < 12 x ( - 2 )   8 > - 24
Se dividirmos cada membro por - 1 , teremos : - 4 : ( - 1 )  < 10 : ( - 1 )   4 > - 10
Em ambos os casos as desigualdades mudaram de sentido.


   Resolução de uma Inequação do Primeiro Grau.    



   Sistemas de Inequações do Primeiro Grau    





   Exercícios Propostos - Inequações    





   Respostas dos Exercícios Propostos

Polígonos

Linha poligonal é uma sucessão de segmentos consecutivos e não-colineares, dois a dois. Classificam-se em:

Linha poligonal aberta simples

Linha poligonal aberta não-simples

Polígono é uma superfície plana limitada por linhas rectas (lados). Um polígono divide o plano em que se encontra em duas regiões (a interior e a exterior), sem pontos comuns. Um polígono estrelado é uma linha poligonal fechada não-simples com propriedades especiais.

[editar] Elementos de um polígono

Um polígono possui os seguintes elementos:

— Lados: Cada um dos segmentos de reta que une vértices consecutivos:

, ,,,.

— Vértices: Ponto de encontro de dois lados consecutivos:

 $A$ ,  $B$ ,  $C$ ,  $D$ ,  $E$ .

— Diagonais: Segmentos que unem dois vértices não consecutivos:
$\overline{A C}\$ , $\overline{A D}\$ , $\overline{B D}\$ , $\overline{B E}\$ , $\overline{C E}\$ .
— Ângulos internos: Ângulos formados por dois lados consecutivos:

,,,,

— Ângulos externos: Ângulos formados por um lado e pelo prolongamento do lado a ele consecutivo:

,,,,.

[editar] Classificação dos polígonos quanto ao número de lados

Número de lados	Polígono
1	não existe
2	não existe
3	triângulo
4	quadrilátero
5	pentágono
6	hexágono
7	heptágono
8	octógono
9	eneágono
10	decágono
11	undecágono
12	dodecágono
13	tridecágono
14	tetradecágono
15	pentadecágono
16	hexadecágono
17	heptadecágono
18	octodecágono
19	eneadecágono
20	icoságono
25	pentacoságono
30	triacontágono
40	tetracontágono
50	pentacontágono
60	hexacontágono
70	heptacontágono
80	octacontágono
90	eneacontágono
100	hectágono
1000	quilógono
1.000.000	megágono
10⁹	gigágono
10¹⁰⁰	googólgono

[editar] Nomeando polígonos

Para se construir o nome de um polígono com mais de 20 lados e menos de 100 lados, basta se combinar os prefixos e os sufixos a seguir:

Dezenas		e	Unidades		sufixo
Dezenas		-kai-	1	hena-	-gono
20	icosi-		2	-di-
30	triaconta-		3	-tri-
40	tetraconta-		4	-tetra-
50	pentaconta-		5	-penta-
60	hexaconta-		6	-hexa-
70	heptaconta-		7	-hepta-
80	octaconta-		8	-octa-
90	enneaconta-		9	-enea-

Assim, um polígono de 42 lados deve ser nomeado da seguinte maneira:

Dezenas	e	Unidades	sufixo	nome completo do polígono
tetraconta-	-kai-	-di-	-gono	tetracontakaidigono

e um polígono de 50 lados da seguinte forma:

Dezenas	e	Unidades	sufixo	nome completo do polígono
pentaconta-			-gono	pentacontagono

[editar] Classificação dos polígonos

A classificação dos polígonos pode ser ilustrada pela seguinte árvore:

Polígono
                                     /       \
                                 Simples     Complexo
                                /     \
                           Convexo     Côncavo
                            /
                       Inscritível
                       /    
                  Regular

[editar] Propriedades dos polígonos convexos

O número de vértices é igual ao número de lados.
De cada vértice de um polígono de $n$ lados, saem $n - 3$ diagonais ( $d v$ ).
O número de diagonais ( $d$ ) de um polígono é dado por $d = \frac{n(n-3)}{2}$ , onde $n$ é o número de lados do polígono.
A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono de $n$ lados ( $S i$ ) é dada por $(n-2). 180^\circ$ .
A soma das medidas dos ângulos externos de um polígono de $n$ lados ( $S e$ ) é igual a $360^\circ$ .
Em um polígono convexo de $n$ lados, o número de triângulos formados por diagonais que saem de cada vértice é dado por $n - 2$ .
A medida do ângulo interno de um polígono regular de $n$ lados ( $a i$ ) é dada por $\frac{(n-2). 180^\circ}{n}$ .
A medida do ângulo externo de um polígono regular de $n$ lados ( $a e$ ) é dada por $\frac{360^\circ}{n}$ .
A soma das medidas dos ângulos centrais de um polígono regular de $n$ lados ( $S c$ ) é igual a $360^\circ$ .
A medida do ângulo central de um polígono regular de $n$ lados ( $a c$ ) é dada por $\frac{360^\circ}{n}$ .

[editar] Outros polígonos

Alguns polígonos são diferente dos outros, por apresentarem lados cruzados, são eles:

[editar] Estrelado

Ver artigo principal: Polígono estrelado

Polígono formado por corda e ângulos iguais. Pode ser:

Falso: Pela sobreposição de Polígonos
Verdadeiro: Formado por linhas poligonais fechadas não-simples

[editar] Entrecruzado

Polígono, cujo prolongamento dos lados, ajudam a formar outro polígono.

[editar] Ângulos de um Polígono Regular

Polígono Regular: É o polígono que possui todos os lados congruentes e todos os ângulos internos congruentes.
Para um polígono de n lados, temos que a soma dos ângulos internos (S¡) = $(n - 2)\times 180^o\,$
Exemplos: Hexágono Regular: 6 lados Cálculo da Soma das medidas dos ângulos internos: S¡ = (6-2) . 180° = 4.180° = 720°
Como o Hexágono é regular: A¡ = 720º/6 = 120° Ae = 180º - 120º = 60°
O ângulo interno mede 120° e o externo, 60°.

[editar] Ver também

Poliedro, a generalização para 3 dimensões

[editar] Ligações externas

Geometria: Polígonos e triângulos

[Esconder] v • e Polígonos
De 3 a 10 lados	Triângulo • Quadrilátero • Pentágono • Hexágono • Heptágono • Octógono • Eneágono • Decágono
De 11 a 19 lados	Hendecágono • Dodecágono • Triscaidecágono • Tetradecágono • Pentadecágono • Hexadecágono • Heptadecágono • Octodecágono • Eneadecágono
De 20 a 90 lados	Icoságono • Pentacoságono • Triacontágono • Tetracontágono • Pentacontágono • Hexacontágono • Heptacontágono • Octacontágono • Eneacontágono
Outros	Hectágono • Quilógono • Megágono • Gigágono • Googólgono
Estrelas	Pentagrama • Hexagrama • Heptagrama • Octograma • Eneagrama • Decagrama