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quarta-feira, 27 de outubro de 2010

Regra de três composta

REGRA DE TRÊS COMPOSTA

regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais.

Exemplos:

1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m3?

Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem:
Horas --------caminhões-----------volume
8↑----------------20↓----------------------160↑
5↑------------------x↓----------------------125↑

A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x.
Observe que:
Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna).
Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a relação é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas.
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Horas --------caminhões-----------volume
8↑----------------20↓----------------------160↓
5↑------------------x↓----------------------125↓

20/ x = 160/125 . 5/8 onde os temos da ultima fração foram invertidos

simplificando fica

20/x = 4/5

4x = 20 . 5

4x = 100

x = 100 / 4

x = 25

Logo, serão necessários 25 caminhões

2) Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias?
Solução: montando a tabela:

Homens----- carrinhos------ dias
8-----------------20--------------5
4-------------------x-------------16

Observe que:
Aumentando o número de homens, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão).
Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação também é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões.
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

20/x= 8/4 . 5/16

20 / x = 40 / 64

40x = 20 . 64

40 x = 1280

x = 1280 / 40

x = 32

Logo, serão montados 32 carrinhos

EXERCICIOS

1) Uma olaria produz 1470 tijolos em 7 dias, trabalhando 3 horas por dia. Quantos tijolos produzirão em 10 dias, trabalhando 8 horas por dia? (R=5600)

2) Oitenta pedreiros constroem 32m de muro em 16 dias. Quantos pedreiros serão necessários para construir 16 m de muro em 64 dias? (R=10)

3) Um ônibus percorre 2232 km em 6 dias, correndo 12 horas por dia. Quantos quilômetros percorrerão em 10 dias, correndo 14 horas por dia? (R=4340)

4) Numa fábrica, 12 operários trabalhando 8 horas por dia conseguem fazer 864 caixas de papelão. Quantas caixas serão feitas por 15 operários que trabalhem 10 horas por dia? (R=1350)

5) Vinte máquinas, trabalhando 16 horas por dia, levam 6 dias para fazer um trabalho. Quantas máquinas serão necessárias para executar o mesmo serviço, se trabalharem 20 horas por dia durante 12 dias? (R=8)

6) Numa indústria têxtil, 8 alfaiates fazem 360 camisas em 3 dias quantos alfaiates são necessários para que sejam feitas 1080 camisas em 12 dias ? (R=6)

7) Um ciclista percorre 150 km em 4 dias pedalando 3 horas por dia. Em quantos dias faria uma viagem de 400 km, pedalando 4 horas por dia? (R=8)

8) Uma máquina fabricou 3200 parafusos, trabalhando 12 horas por dia durante 8 dias. Quantas horas deverá trabalhar por dia para fabricar 5000 parafusos em 15 dias? (R=10)

9) Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levarão 10 torneiras para encher 2 piscinas? (R: 6 horas.)

10) Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvão. Se for aumentada para 20 homens, em quantos dias conseguirão extrair 5,6 toneladas de carvão? (R: 35 dias).
11) Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um muro de 300m. Quanto tempo levará uma turma de 16 operários, trabalhando 9 horas por dia, para construir um muro de 225m? (R: 15 dias.)

12) Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, viajando 8 horas por dia, a uma velocidade média de 50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar essa carga em 20 dias, a uma velocidade média de 60 km/h? (R: 10 horas por dia.)

13) Com uma certa quantidade de fio, uma fábrica produz 5400m de tecido com 90cm de largura em 50 minutos. Quantos metros de tecido, com 1 metro e 20 centímetros de largura, seriam produzidos em 25 minutos? (R: 2025 metros.)

14) Para pintar 20 m de muro de 80 cm de altura foram gastas 5 latas de tinta. Quantas latas serão gastas para pintar 16 m de muro de 60 cm de altura? (R: 3 latas)

15) Três máquinas imprimem 9000 cartazes em 12 dias. Em quantos dias 8 máquinas imprimem 12000 cartazes, trabalhando o mesmo número de horas por dia (R: 6 dias )

16) Na fabricação de 20 camisetas, 8 máquinas gatam 4 horas. Para produzir 15 camisas, 4 máquinas quantas horas gastam? (R: 6 horas)

17) Nove operários produzem 5 peças em 8 dias. Quantas peças serão produzidas por 12 operários em 6 dias ? (R: 5 peças)

18) Em 7 dias, 40 cachorros consomem 100 Kg de ração, Em quantos dias 15 cachorros consumirão 75 kg de ração ? (R: 14 dias)

Regra de três simples

REGRA DE TRÊS SIMPLES

Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos.

Passos utilizados numa regra de três simples:

1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.

2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.

3º) Montar a proporção e resolver a equação.

Exemplos:

1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m², uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m², qual será a energia produzida?

Solução: montando a tabela:

Área (m²) Energia (Wh)
1,2--------400
1,5-------- x

Identificação do tipo de relação:

Área--------Energia
1,2---------400↓
1,5---------- X↓

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).
Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta.
Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Área--------Energia
1,2---------400↓
1,5-----------x↓

1,2X = 400.1,5

x= 400.1,5 / 1,2

x= 500

Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora.

2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h?

Solução: montando a tabela:

1) Velocidade (Km/h) Tempo (h)
400-----------------3
480---------------- x

2) Identificação do tipo de relação:

velocidade----------tempo
400↓-----------------3↑
480↓---------------- x↑

Obs: como as setas estão invertidas temos que inverter os numeros mantendo a primeira coluna e invertendo a segunda coluna ou seja o que esta em cima vai para baixo e o que esta em baixo na segunda coluna vai para cima

velocidade----------tempo
400↓-----------------X↓
480↓---------------- 3↓

480X = 400 . 3

x = 400 . 3 / 480

X = 2,5

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).
Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui.

Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no sentido contrário (para cima) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos.

3) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e preço?

Solução: montando a tabela:

Camisetas----preço (R$)
3------------- 120
5---------------x

3x=5.120

o três vai para o outro lado do igual dividindo

x = 5.120/3

x= 200

Observe que: Aumentando o número de camisetas, o preço aumenta.
Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, a Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas.

4) Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias. Se o número de horas de serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho?

Solução: montando a tabela:

Horas por dia-----Prazo para término (dias)

8↑------------------------20↓
5↑------------------------x ↓

invertemos os termos

Horas por dia-----Prazo para término (dias)

8↑-------------------------x↑
5↑------------------------20↑

5x = 8. 20

passando-e o 5 para o outro lado do igual dividindo temos:

5x = 8. 2 / 5

x = 32

Observe que: Diminuindo o número de horas trabalhadas por dia, o prazo para término aumenta.
Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

EXERCICIOS

1) Uma roda dá 80 voltas em 20 minutos. Quantas voltas dará em 28 minutos? (R:112)

2) Com 8 eletricistas podemos fazer a instalação de uma casa em 3 dias. Quantos dias levarão 6 eletricistas para fazer o mesmo trabalho? (R: 4)

3) Com 6 pedreiros podemos construir um a parede em 8 dias. Quantos dias gastarão 3 pedreiros para fazer a mesma parede? (R:16)

4) Uma fabrica engarrafa 3000 refrigerantes em 6 horas. Quantas horas levará para engarrafar 4000 refrigerantes? (R: 8)

5) Quatro marceneiros fazem um armário em 18 dias. Em quantos dias 9 marceneiros fariam o mesmo armário? (R:8)
6) Trinta operários constroem uma casa em 120 dias. Em quantos dias 40 operários construiriam essa casa? (R: 90)

7) Uma torneira despeja em um tanque 50 litros de água em 20 minutos. Quantas horas levará para despejar 600 litros? (R: 4)

8) Na construção de uma escola foram gastos 15 caminhões de 4 m³ de areia. Quantos caminhões de 6 m³ seriam necessários para fazer o mesmo trabalho? (R: 10)

9) Com 14 litros de tinta podemos pintar uma parede de 35 m². Quantos litros são necessários para pintar uma parede de 15 m²? (R: 6)

10) Um ônibus, a uma velocidade média de 60 km/h, fez um percurso em 4 horas. Quanto levará, aumentando a velocidade média para 80 km/h? (R:3)

11) Para se obterem 28 kg de farinha, são necessários 40 kg de trigo. Quantos quilogramas do mesmo trigo são necessários para se obterem 7 kg de farinha? (R:10)

12) Cinco pedreiros fazem uma casa em 30 dias. Quantos dias levarão 15 pedreiros para fazer a mesma casa? (R:10)

13) Uma máquina produz 100 peças em 25 minutos. Quantoas peças produzirá em 1 hora? (R:240)

14) Um automóvel faz um percurso de 5 horas à velocidade média de 60 km/h. Se a velocidade fosse de 75 km /h quantas horas gastaria para fazer o mesmo percurso? (R:4)

15)Uma maquina fabrica 5000 alfinetes em 2 horas. Qauntos alfinetes ela fabricará em 7 horas? (R:17.500)

16) Quatro quilogramas de um produto químico custam R$ 24.000,00 quanto custarão 7,2 Kg desse mesmo produto? (R:43.200,00)

17) Oito operarios fazem um casa em 30 dias. quantos dias gastarão 12 operários para fazer a mesma casa? (R:20)
18) Uma torneira despeja 2700 litros de água em 1 hora e meia. Quantos litros despeja em 14 minutos? (R: 420)

19) Quinze homens fazem um trabalho em 10 dias, desejando-se fazer o mesmo trabalho em 6 dias, quantos homens serão necessários? (R:25)
20) Um ônibus, à velocidade de 90 Km/h, fez um percurso em 4 horas. Quanto tempo levaria se aumentasse a velocidade para 120 Km/h? (R: 3)

21) Num livro de 270 páginas, há 40 linhas em cada página. Se houvesse 30 linhas, qual seria o número de páginas desse livro? (R:360)

terça-feira, 5 de outubro de 2010

Triângulos

Um triângulo equilátero possui todos os lados congruentes ou seja iguais. Um triângulo equilátero é também equiângulo: todos os seus ângulos internos são congruentes (medem 60°), sendo, portanto, classificado como um polígono regular.
Um triângulo isósceles possui pelo menos dois lados de mesma medida e dois ângulos congruentes. O triângulo equilátero é, conseqüentemente, um caso especial de um triângulo isósceles, que apresenta não somente dois, mas todos os três lados iguais, assim como os ângulos, que medem todos 60º. Num triângulo isósceles, o ângulo formado pelos lados congruentes é chamado ângulo do vértice. Os demais ângulos denominam-se ângulos da base e são congruentes.
Em um triângulo escaleno, as medidas dos três lados são diferentes. Os ângulos internos de um triângulo escaleno também possuem medidas diferentes.

Denomina-se base o lado sobre qual se apóia o triângulo. No triângulo isósceles, considera-se base o lado de medida diferente.
Todos esses triângulos são os mesmos encontrados num plano de duas dimensões, porem em grandes extensões, como na superfície do planeta por exemplo, os ângulos para continuarem os mesmos é necessário que o comprimento dos lados sejam deformados ou seja ampliados em igual proporção ao perímetro da esfera.


Equilátero	Isósceles	Escaleno

Um triângulo também pode ser classificado de acordo com seus ângulos internos:

Um triângulo retângulo possui um ângulo reto. Num triângulo retângulo, denomina-se hipotenusa o lado oposto ao ângulo reto. Os demais lados chamam-se catetos. Os catetos de um triângulo retângulo são complementares.
Um triângulo obtusângulo possui um ângulo obtuso e dois ângulos agudos.
Em um triângulo acutângulo, os três ângulos são agudos(formando 180°).


Retângulo	Obtusângulo	Acutângulo

[editar] Condição de existência de um triângulo

Para que se possa construir um triângulo é necessário que a medida de qualquer um dos lados seja menor que a soma das medidas dos outros dois e maior que o valor absoluto da diferença entre essas medidas.

| b - c | < a < b + c

o triângulo é um aspecto lítico da fisica, aritmética e geometria.

[editar] Fatos básicos

Fatos elementares sobre triângulos foram apresentados por Euclides nos livros 1-4 de sua obra Elementos aproximadamente em 300 a.C..
Um triângulo é um polígono.
Dois triângulos são ditos semelhantes se um pode ser obtido pela expansão uniforme do outro. Este é o caso se, e somente se, seus ângulos correspondentes são iguais, e isso ocorre, por exemplo, quando dois triângulos compartilham um ângulo e os lados opostos a esse ângulo são paralelos entre si. O fato crucial sobre triângulos similares é que os comprimentos de seus lados são proporcionais. Isto é, se o maior lado de um triângulo é duas vezes o maior lado do triângulo similar, diz-se, então, que o menor lado será também duas vezes maior que o menor lado do outro triângulo, e o comprimento do lado médio será duas vezes o valor do lado correspondente do outro triângulo. Assim, a razão do maior lado e o menor lado do primeiro triângulo será a mesma razão do maior lado e o menor lado do outro triângulo.
Usando-se triângulos retângulos e o conceito de similaridade, as funções trigonométricas de seno e cosseno podem ser definidas. Essas são funções de um ângulo que são investigadas na trigonometria.
Nos casos a seguir, será usado um triângulo com vértices A, B e C, ângulos α, β e γ e lados a, b e c. O lado a é oposto ao vértice A e ao ângulo α, o lado b é oposto ao vértice B e ao ângulo β e o lado c é oposto ao vértice C e ao ângulo γ.
Na geometria Euclidiana, de acordo com o Teorema angular de Tales, a 32ª proposição de Euclides afirma que a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a dois ângulos retos (180° ou π radianos). Isso permite a determinação da medida do terceiro ângulo, desde que sejam conhecidas as medidas dos outros dois ângulos.
Ex: $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$

Os ângulos A e A' são iguais (duas paralelas cortadas por uma transversal). Os ângulos B e B' são iguais por serem alternos internos. Os ângulos C e C' são iguais por serem opostos pelo vértice. Assim vê-se que a soma dos ângulos internos do triângulo é 180º.

Existe um Corolário desse Teorema, que afirma que a medida de um ângulo externo de um triângulo é igual à soma das medidas dos ângulos internos não-adjacentes.
Ex: Sendo

e

a medida do ângulo externo do triângulo que tem como vértice o vértice

C

, pode-se afirmar que:

e = α + β

Teorema de Pitágoras.

Um teorema central é o Teorema de Pitágoras, que afirma que em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos. Se o vértice C do exemplo dado for um ângulo reto, pode-se escrever isso da seguinte maneira:

c 2 = a 2 + b 2

Isso significa que, conhecendo as medidas de dois lados de um triângulo retângulo, pode-se calcular a medida do terceiro lado — propriedade única dos triângulos retângulos.
O Teorema de Pitágoras pode ser generalizado pela lei dos cossenos:
$c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos \gamma$
Essa lei é válida para todos os triângulos, mesmo se γ não for um ângulo reto e pode ser usada para determinar o tamanho de lados e ângulos de um triângulo, desde que a medida de três ou dois lados e de um ângulo interno sejam conhecidas.
A lei dos senos diz: $\frac{\sin\alpha}a=\frac{\sin\beta}b=\frac{\sin\gamma}c=\frac1d$ , onde d é o diâmetro da circunferência circunscrita ao triângulo (uma circunferência que passa pelos três vértices do triângulo). A lei dos senos pode ser usada para computar a medidas dos lados de um triângulo, desde que a medida de dois ângulos e de um lado sejam conhecidas.
Existem dois triângulos retângulos especiais que aparecem frequentemente em geometria. O chamado "triângulo 45º-45º-90º" possui ângulos com essas medidas e a proporção de seus lados é: $1:1:\sqrt{2}$ . O "triângulo 30º-60º-90º" possui ângulos com essas medidas e a proporção de seus lados é: $1:\sqrt{3}:2$ .

[editar] Área

Produto Base Altura
A área de um triângulo é a metade do produto da medida da sua altura pela medida da sua base. Assim, a área do triângulo pode ser calculada pela fórmula:
$A = {(B \cdot h)\over 2}$ , onde h é a altura do triângulo, b a medida da base.
Triângulos equiláteros
Se o triângulo for equilátero de lado l, sua área A pode ser obtida com:
$A = {l^2 \sqrt{3}\over 4}$ .
Ou então usando sua altura h e a fórmula da base vezes a altura. A altura h de um triângulo equilátero é:
$h = {l \sqrt{3}\over 2}$ .
Vale notar que essas duas fórmulas para os triângulos equiláteros são obtidas usando as funções seno ou cosseno e usando a altura do triângulo, que o divide ao meio em dois triângulos retângulos iguais.
Semiperímetro

Outra maneira de calcular sua área é através do Teorema de Herão (ou Heron), também conhecido como fórmula do semi-perímetro:
$A = {\sqrt{p \cdot (p - a) \cdot (p - b) \cdot (p - c)}}$ ,
onde
$p = {(a + b + c) \over 2}$ é o semi-perímetro.
Lados
Também podemos calcular a área a partir dos lados do triângulo. Sendo a e b dois lados quaisquer de um triângulo, e

α

o ângulo entre eles, temos que a área é:
$A = {a \cdot b \cdot sen(\alpha) \over 2}$ .

Quadrilateros

O que é um Quadrilátero

Generalidades

Quadrilátero é a figura constituida por quatro pontos do plano, os vértices, e pelos seis segmentos que os unem. Para afastar, desde já, o caso do quadrilátero achatado, supõe-se que dos quatro pontos não há três que sejam colineares.

Diagonais de um quadrilátero são os segmentos de recta que unem dois vértices opostos.

Nomenclatura

4 Vértices: A, B, C, D
4 Lados: [AB], [BC], [CD], [AD]
4 Ângulos internos: ÐABC, ÐBCD, ÐCDA, ÐDAB
2 Diagonais: [AC], [BD]
Vértices consecutivos: A e B, B e C, C e D, D e A
Vértices opostos: A e C, B e D
Lados consecutivos: [AB] e [BC], [BC] e [CD], [CD] e [AD], [AD] e [AB]
Lados opostos: [AB] e [CD], [AD] e [BC]

Relações entre os ângulos de um Quadrilátero

A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é geométricamente igual a um ângulo giro (360º).

a + b + g + d = 360º

Classificação dos Quadriláteros


Quadrilátero convexo



Quadrilátero côncavo	Quadrilátero estrelado

Chama-se quadrilátero convexo, àquele que define um domínio convexo (1).
Quadrilátero côncavo é aquele que define um domínio côncavo (1).
Observa-se que o quadrilátero estrelado também é um quadrilátero côncavo.

(1) Um domínio plano diz-se convexo quando o segmento de recta de

Propriedades dos Trapézios

Trapézios, no sentido lato, são quadriláteros em que dois lados opostos são paralelos. Os lados são as bases e se forem desiguais uma é a base maior e a outra a base menor.

Classificação dos Trapézios


Trapézio isósceles	Trapézio rectângulo
AB = CD
a = b	a = 90º



Trapézio escaleno

Um trapézio isósceles é aquele cujos lados opostos não paralelos são iguais.
Um trapézio rectângulo é aquele em que um dos lados opostos não paralelos é perpendicular às bases.
Um trapézio escaleno é aquele cujos lados opostos não paralelos são desiguais.

Relações de um Trapézio Isósceles

1 - Num trapézio isósceles os ângulos adjacentes à mesma base são geometricamente iguais:

a = d e b = g

2 - As diagonais de um trapézio isósceles são geometricamente iguais:

[AC] @ [BD]

3 - A mediana de um trapézio isósceles é paralela às bases do trapézio e o seu comprimento é igual à semi-soma das bases:

AD//BC//EF

EF = AD + BC

Linhas notáveis de um Trapézio

Bases de um trapézio são os lados opostos paralelos.

Diagonal de um trapézio é o segmento de recta cujos extremos são dois vértices opostos do quadrilátero.

Altura de um trapézio é o segmento de recta perpendicular às bases e compreendido entre elas.

Mediana de um trapézio é o segmento de recta cujos extremos são os pontos médios dos lados opostos não paralelos.

Propriedades dos Paralelogramos

Paralelogramos são trapézios cujos lados opostos são paralelos e geometricamente iguais.

Classificação dos Paralelogramos


Paralelogramo	Rectângulo
AB = CD e AD = BC	(todos os ângulos são geometricamente iguais)
a = g e b = d	a = b = g = d = 90º



Losango ou Rombo	Quadrado
(todos os lados são geometricamente iguais)	(todos os lados e ângulos são geometricamente iguais)
AB = BC = CD = DA	AB = BC = CD = DA
a = g e b = d	a = b = g = d = 90º

Rectângulo é o quadrilátero cujos lados consecutivos são perpendiculares.

Losango ou Rombo é o quadrilátero cujos lados são todos iguais.

Quadrado é o rectângulo cujos lados são todos iguais.

Relações de um Paralelogramo

1 - Os ângulos opostos de um paralelogramo são geometricamente iguais e os ângulos internos consecutivos de cada lado são suplementares:

ÐBAD @ ÐBCD (ÐABC) + (ÐBCD) = 180º

ÐABC @ ÐADC (ÐBAD) + (ÐADC) = 180º

2 - Os lados opostos de um paralelogramo são geométricamente iguais:

[AB] @ [CD]

[AD] @ [BC]

3 - As diagonais de um paralelogramo bissectam-se (dividem-se em duas partes geometricamente iguais) uma à outra:

[AO] @ [OC]

[BO] @ [OD]

O é o ponto médio de [AC] e [BD]

4 - Uma diagonal de um paralelogramo divide-o em dois triângulos geometricamente iguais:

Δ[ABC] @ Δ[ACD]

Linhas notáveis de um Paralelogramo

Base de um paralelogramo é qualquer um dos seus lados.

Diagonal de um paralelogramo é o segmento de recta cujos extremos são dois vértices opostos do quadrilátero.

Altura de um paralelogramo é o segmento de recta perpendicular à base e compreendida entre ela e o lado paralelo oposto.

Uma demonstração... para a propriedade dos quadriláteros obtidos pelos pontos médios de outro quadrilátero

Os triângulos [ABC] e [FBG] são semelhantes:
O ângulo em B é comum;

AB = CB = 2
FB GB

( mais o critério de semelhança que afirma que se dois triângulos têm um ângulo igual e os lados que o formam directamente proporcionais, então eles são semelhantes)
Então ÐBFG = ÐBAC e portanto FG é paralelo a AC.

Analogamente, usando os triângulos [ADC] e [EDH], conclui-se que AC é paralelo a EH.
Portanto, por transitividade da relação de paralelismo, vem que FG é paralelo a EH.

Da mesma forma:

Usando os triângulos [HCG] e [DCB] vem que GH é paralelo a BD;
Usando os triângulos [EAF] e [DAB] vem que FE é paralelo a BD.
Portanto, GH é paralelo a FE.

1 - Três dos ângulos de um quadrilátero medem 55º 18', 107º 47' e 99º 11'. Determinar a medida do outro ângulo.

2 - O ÐA e o ÐC do quadrilátero ABCD são complementares. Determinar as medidas do ÐB e do ÐD, sabendo que aquele tem menos 25º 46' do que este.

3 - Dois dos ângulos de um quadrilátero são rectos; qual é a relação entre os outros dois? Justificar a resposta.

4 - Num trapézio isósceles os ângulos adjacentes à mesma base são representados por 2x+15º e 3x-25º. Determinar a medida de cada um dos ângulos do trapézio.

5 -

a) Se ABCD for um trapézio isósceles, Ðc=80º e Ðd=20º, quanto mede cada um dos ângulos do trapézio?

b) Se ABCD for um trapézio escaleno, Ðe=60º, ÐB=110º e CD^AE, quanto mede cada um dos ângulos do trapézio?

c) ABCD é um trapézio em que ÐD=60º, Ðc=85º e ÐB=130º, quanto mede o Ðe?

d) ABCD é um trapézio em que ÐBCE=160º e Ðe=50º, quanto mede o ÐB?

6 -

Pretende-se abri um túnel numa montanha de A para B, tendo sido determinada a direcção AE de tal forma que o seu prolongamento passa por B. Mas pretendendo também trabalhar de B na direcção de A, determinou-se ÐEAD=82º, ÐADC=98º e ÐDCB=112º. Quantos graus deve medir o ÐCBF para que o prolongamento de BF passe por A.

7 -

a) Pretende-se medir a distancia dos pontos A e B separados por um lago. Marcou-se, para isso, A=105º, B=75º e AD=BC. Demonstre que CD é igual à distância pretendida.

b) Qual a relação entre os ângulos A e B por forma a que, sendo AD=BC, a distância entre C e D seja igual à distância entre A e B. Justificar a resposta.

8 - Demonstre a seguinte proposição:

"A paralela, tirada às bases de um trapézio pela intersecção das diagonais, é dividida por este ponto em duas partes iguais."

1 - 97º 44'

2 - ÐB=122º 7' e ÐD=147º 53'

3 - São suplementares. Justificação:

Sendo a soma dos ângulos internos de um quadrilátero de 360º e dois deles medindo 90º cada um então a soma dos outros dois é de 180º, ou seja, são suplementares.

4 - 85º e 95º

5 - a) ÐA=ÐD=60º e ÐB=ÐC=120º b) ÐA=70º, ÐC=100º e ÐD=80º c) 25º d) 110º

6 - 68º

7 -

a) Demonstração

Temos

AC = BD
Queremos provar:
AB = CD

Consideremos o quadrilátero ABCD.

AB intersecta AC e BD.

Como a+75º=180º => a=105º

Logo a=ÐA. Logo AC//BD

CD intersecta AC e BD.

Como AC//BD logo b=g.

Portanto

Consideremos os triângulos rectângulos ACC' e BDD' resultantes:

Da perpendicular a AB que passa por C, sendo C' a intersecção dessa perpendicular com AB;
Da perpendicular a AB que passa por D, sendo D' a intersecção dessa perpendicular com AB.

Como ÐBDD'=ÐACC', os triângulos BDD' e ACC' têm dois ângulos geometricamente iguais, logo são semelhantes.

Como AC=BD então os triângulos ACC' e BDD' são iguais.

Logo CC'=DD'

Logo CD//C'D', como C'D'=AB, então

CD//AB

Como AC intersecta AB e CD

Logo

ÐC=b=180º-ÐA=75º

ÐD=180º-b=105º

Logo temos:

Logo AB=CD.

b) Os ângulos A e B tem que ser suplementares. Justificação:

Observar que no caso anterior para que a=ÐA basta que A e B sejam suplementares. E o resultado segue-se, mutatis mutandis.

8 -

Descrição dos passos da demonstração

a) Estabelecer uma relação entre os segmentos AM, AD, MO e DC e justificar.

b) Estabelecer uma relação entre os segmentos BN, BC, ON e DC e justificar.

c) Estabelecer uma relação entre os segmentos AM, AD, BN e BC e justificar.

d) Estabelecer uma relação entre os segmentos MO, DC, ON e DC e justificar.

e) Estabelecer a tese e justificar.

Demonstração

Passos	Justificação
a) AM = MO AD DC	a) Porque os segmentos contados a partir do ponto de encontro de duas transversais até duas //s, são directamente proporcionais aos segmentos de //s compreendidos entre as transversais.
b) BN = ON BC DC	b) Pela mesma razão anterior.
c) AM = BN AD BC	c) Porque um feixe de //s determina em duas transversais segmentos directamente proporcionais.
d) MO = ON DC DC	d) Pelas alíneas a, b e c.
e) MO = ON	e) Porque se duas fracções são iguais, e têm denominadores iguais, os numeradores também o são.