Quadrilateros

	O que é um Quadrilátero Generalidades Quadrilátero é a figura constituida por quatro pontos do plano, os vértices, e pelos seis segmentos que os unem. Para afastar, desde já, o caso do quadrilátero achatado, supõe-se que dos quatro pontos não há três que sejam colineares. Diagonais de um quadrilátero são os segmentos de recta que unem dois vértices opostos. Nomenclatura 4 Vértices: A, B, C, D 4 Lados: [AB], [BC], [CD], [AD] 4 Ângulos internos: ÐABC, ÐBCD, ÐCDA, ÐDAB 2 Diagonais: [AC], [BD] Vértices consecutivos: A e B, B e C, C e D, D e A Vértices opostos: A e C, B e D Lados consecutivos: [AB] e [BC], [BC] e [CD], [CD] e [AD], [AD] e [AB] Lados opostos: [AB] e [CD], [AD] e [BC] Relações entre os ângulos de um Quadrilátero A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é geométricamente igual a um ângulo giro (360º). a + b + g + d = 360º
	Classificação dos Quadriláteros Quadrilátero convexo Quadrilátero côncavo Quadrilátero estrelado Chama-se quadrilátero convexo, àquele que define um domínio convexo (1). Quadrilátero côncavo é aquele que define um domínio côncavo (1). Observa-se que o quadrilátero estrelado também é um quadrilátero côncavo. (1) Um domínio plano diz-se convexo quando o segmento de recta de Propriedades dos Trapézios Trapézios, no sentido lato, são quadriláteros em que dois lados opostos são paralelos. Os lados são as bases e se forem desiguais uma é a base maior e a outra a base menor. Classificação dos Trapézios Trapézio isósceles Trapézio rectângulo AB = CD a = b a = 90º Trapézio escaleno Um trapézio isósceles é aquele cujos lados opostos não paralelos são iguais. Um trapézio rectângulo é aquele em que um dos lados opostos não paralelos é perpendicular às bases. Um trapézio escaleno é aquele cujos lados opostos não paralelos são desiguais. Relações de um Trapézio Isósceles 1 - Num trapézio isósceles os ângulos adjacentes à mesma base são geometricamente iguais: a = d e b = g 2 - As diagonais de um trapézio isósceles são geometricamente iguais: [AC] @ [BD] 3 - A mediana de um trapézio isósceles é paralela às bases do trapézio e o seu comprimento é igual à semi-soma das bases: AD//BC//EF EF = AD + BC           2  Linhas notáveis de um Trapézio Bases de um trapézio são os lados opostos paralelos. Diagonal de um trapézio é o segmento de recta cujos extremos são dois vértices opostos do quadrilátero. Altura de um trapézio é o segmento de recta perpendicular às bases e compreendido entre elas. Mediana de um trapézio é o segmento de recta cujos extremos são os pontos médios dos lados opostos não paralelos. Propriedades dos Paralelogramos Paralelogramos são trapézios cujos lados opostos são paralelos e geometricamente iguais. Classificação dos Paralelogramos                            Paralelogramo Rectângulo AB = CD e AD = BC (todos os ângulos são geometricamente iguais) a = g e b = d a = b = g = d = 90º Losango ou Rombo Quadrado (todos os lados são geometricamente iguais) (todos os lados e ângulos são geometricamente iguais) AB = BC = CD = DA AB = BC = CD = DA a = g e b = d a = b = g = d = 90º                                                                     Rectângulo é o quadrilátero cujos lados consecutivos são perpendiculares. Losango ou Rombo é o quadrilátero cujos lados são todos iguais. Quadrado é o rectângulo cujos lados são todos iguais. Relações de um Paralelogramo 1 - Os ângulos opostos de um paralelogramo são geometricamente iguais e os ângulos internos consecutivos de cada lado são suplementares: ÐBAD  @ ÐBCD      (ÐABC) + (ÐBCD) = 180º    ÐABC  @ ÐADC      (ÐBAD) + (ÐADC) = 180º    2 - Os lados opostos de um paralelogramo são geométricamente iguais: [AB] @ [CD] [AD] @ [BC] 3 - As diagonais de um paralelogramo bissectam-se (dividem-se em duas partes geometricamente iguais) uma à outra: [AO] @ [OC] [BO] @ [OD] O é o ponto médio de [AC] e [BD] 4 - Uma diagonal de um paralelogramo divide-o em dois triângulos geometricamente iguais: Δ[ABC] @ Δ[ACD] Linhas notáveis de um Paralelogramo Base de um paralelogramo é qualquer um dos seus lados. Diagonal de um paralelogramo é o segmento de recta cujos extremos são dois vértices opostos do quadrilátero. Altura de um paralelogramo é o segmento de recta perpendicular à base e compreendida entre ela e o lado paralelo oposto.

Uma demonstração... para a propriedade dos quadriláteros obtidos pelos pontos médios de outro quadrilátero

Os triângulos [ABC] e [FBG] são semelhantes:
O ângulo em B é comum;

AB = CB = 2

FB     GB

( mais o critério de semelhança que afirma que se dois triângulos têm um ângulo igual e os lados que o formam directamente proporcionais, então eles são semelhantes)
Então ÐBFG = ÐBAC e portanto FG é paralelo a AC.

Analogamente, usando os triângulos [ADC] e [EDH], conclui-se que AC é paralelo a EH.
Portanto, por transitividade da relação de paralelismo, vem que FG é paralelo a EH.

Da mesma forma:

Usando os triângulos [HCG] e [DCB] vem que GH é paralelo a BD;
Usando os triângulos [EAF] e [DAB] vem que FE é paralelo a BD.
Portanto, GH é paralelo a FE.

1 - Três dos ângulos de um quadrilátero medem 55º 18', 107º 47' e 99º 11'. Determinar a medida do outro ângulo.

2 - O ÐA e o ÐC do quadrilátero ABCD são complementares. Determinar as medidas do ÐB e do ÐD, sabendo que aquele tem menos 25º 46' do que este.

3 - Dois dos ângulos de um quadrilátero são rectos; qual é a relação entre os outros dois? Justificar a resposta.

4 - Num trapézio isósceles os ângulos adjacentes à mesma base são representados por 2x+15º e 3x-25º. Determinar a medida de cada um dos ângulos do trapézio.

5 - 

 

a) Se ABCD for um trapézio isósceles, Ðc=80º e Ðd=20º, quanto mede cada um dos ângulos do trapézio?

b) Se ABCD for um trapézio escaleno, Ðe=60º, ÐB=110º e CD^AE, quanto mede cada um dos ângulos do trapézio?

c) ABCD é um trapézio em que ÐD=60º, Ðc=85º e ÐB=130º, quanto mede o Ðe?

d) ABCD é um trapézio em que ÐBCE=160º e Ðe=50º, quanto mede o ÐB?

6 - 

Pretende-se abri um túnel numa montanha de A  para B, tendo sido determinada a direcção AE de tal forma que o seu prolongamento passa por B. Mas pretendendo também trabalhar de B na direcção de A, determinou-se ÐEAD=82º, ÐADC=98º e ÐDCB=112º. Quantos graus deve medir o ÐCBF para que o prolongamento de BF passe por A. 

7 - 

a) Pretende-se medir a distancia dos pontos A e B separados por um lago. Marcou-se, para isso, A=105º, B=75º e AD=BC. Demonstre que CD é igual à distância pretendida.

b) Qual a relação entre os ângulos A e B por forma a que, sendo AD=BC, a distância entre C e D seja igual à distância entre A e B. Justificar a resposta.

8 - Demonstre a seguinte proposição:

        "A paralela, tirada às bases de um trapézio pela intersecção das diagonais, é dividida por este ponto em duas partes iguais."

1 - 97º 44'        

2 - ÐB=122º 7' e ÐD=147º 53'        

3 - São suplementares. Justificação:

Sendo a soma dos ângulos internos de um quadrilátero de 360º e dois deles medindo 90º cada um então a soma dos outros dois é de 180º, ou seja, são suplementares.

4 - 85º e 95º        

5 - a) ÐA=ÐD=60º e ÐB=ÐC=120º    b) ÐA=70º, ÐC=100º e ÐD=80º    c) 25º    d) 110º        

6 - 68º

7 - 

a) Demonstração

Temos

AC = BD Queremos provar: AB = CD

Consideremos o quadrilátero ABCD.

AB intersecta AC e BD.

  

Como a+75º=180º => a=105º

Logo a=ÐA. Logo AC//BD

CD intersecta AC e BD.

Como AC//BD logo b=g.

Portanto

Consideremos os triângulos rectângulos ACC' e BDD' resultantes:

• Da perpendicular a AB que passa por C, sendo C' a intersecção dessa perpendicular com AB;
• Da perpendicular a AB que passa por D, sendo D' a intersecção dessa perpendicular com AB.

Como ÐBDD'=ÐACC', os triângulos BDD' e ACC' têm dois ângulos geometricamente iguais, logo são semelhantes. 

Como AC=BD então os triângulos ACC' e BDD' são iguais.

Logo CC'=DD'

Logo CD//C'D', como C'D'=AB, então

CD//AB

Como AC intersecta AB e CD

Logo

ÐC=b=180º-ÐA=75º

ÐD=180º-b=105º

Logo temos:

Logo AB=CD.

b) Os ângulos A e B tem que ser suplementares. Justificação:

Observar que no caso anterior  para que a=ÐA basta que A e B sejam suplementares. E o resultado segue-se, mutatis mutandis.

8 - 

Descrição dos passos da demonstração

a) Estabelecer uma relação entre os segmentos AM, AD, MO e DC e justificar.

b) Estabelecer uma relação entre os segmentos BN, BC, ON e DC e justificar.

c) Estabelecer uma relação entre os segmentos AM, AD, BN e BC e justificar.

d) Estabelecer uma relação entre os segmentos MO, DC, ON e DC e justificar.

e) Estabelecer a tese e justificar.

Demonstração

Passos	Justificação
a)   AM = MO       AD     DC	a) Porque os segmentos contados a partir do ponto de encontro de duas transversais até duas //s, são directamente proporcionais aos segmentos de //s compreendidos entre as transversais.
b)    BN = ON        BC    DC	b) Pela mesma razão anterior.
c)   AM = BN       AD     BC	c) Porque um feixe de //s determina em duas transversais segmentos directamente proporcionais.
d)   MO = ON       DC     DC	d) Pelas alíneas a, b e c.
e)    MO = ON	e) Porque se duas fracções são iguais, e têm denominadores iguais, os numeradores também o são.