terça-feira, 5 de outubro de 2010

Polígonos

Linha poligonal é uma sucessão de segmentos consecutivos e não-colineares, dois a dois. Classificam-se em:
Linha poligonal aberta simples
Linha poligonal aberta não-simples
Polígono é uma superfície plana limitada por linhas rectas (lados). Um polígono divide o plano em que se encontra em duas regiões (a interior e a exterior), sem pontos comuns. Um polígono estrelado é uma linha poligonal fechada não-simples com propriedades especiais.

[editar] Elementos de um polígono

Um polígono possui os seguintes elementos:
Elementos do polígono.JPG
— Lados: Cada um dos segmentos de reta que une vértices consecutivos:
 \overline{A B}\ ,  \overline{B C}\ , \overline{C D}\ , \overline{D E}\ , \overline{E A}\ .
— Vértices: Ponto de encontro de dois lados consecutivos:
A, B, C, D, E.
— Diagonais: Segmentos que unem dois vértices não consecutivos:
 \overline{A C}\ , \overline{A D}\ , \overline{B D}\ , \overline{B E}\ , \overline{C E}\ .
— Ângulos internos: Ângulos formados por dois lados consecutivos:
 \hat a \ , \hat b \ , \hat c \ , \hat d \ , \hat e \ 
— Ângulos externos: Ângulos formados por um lado e pelo prolongamento do lado a ele consecutivo:
 \hat a_1 \ , \hat b_1 \ , \hat c_1 \ , \hat d_1 \ , \hat e_1 \ .

[editar] Classificação dos polígonos quanto ao número de lados

Número de lados Polígono
1 não existe
2 não existe
3 triângulo
4 quadrilátero
5 pentágono
6 hexágono
7 heptágono
8 octógono
9 eneágono
10 decágono
11 undecágono
12 dodecágono
13 tridecágono
14 tetradecágono
15 pentadecágono
16 hexadecágono
17 heptadecágono
18 octodecágono
19 eneadecágono
20 icoságono
25 pentacoságono
30 triacontágono
40 tetracontágono
50 pentacontágono
60 hexacontágono
70 heptacontágono
80 octacontágono
90 eneacontágono
100 hectágono
1000 quilógono
1.000.000 megágono
109 gigágono
10100 googólgono

[editar] Nomeando polígonos

Para se construir o nome de um polígono com mais de 20 lados e menos de 100 lados, basta se combinar os prefixos e os sufixos a seguir:
Dezenas e Unidades sufixo
-kai- 1 hena- -gono
20 icosi- 2 -di-
30 triaconta- 3 -tri-
40 tetraconta- 4 -tetra-
50 pentaconta- 5 -penta-
60 hexaconta- 6 -hexa-
70 heptaconta- 7 -hepta-
80 octaconta- 8 -octa-
90 enneaconta- 9 -enea-
Assim, um polígono de 42 lados deve ser nomeado da seguinte maneira:
Dezenas e Unidades sufixo nome completo do polígono
tetraconta- -kai- -di- -gono tetracontakaidigono
e um polígono de 50 lados da seguinte forma:
Dezenas e Unidades sufixo nome completo do polígono
pentaconta-   -gono pentacontagono

[editar] Classificação dos polígonos

A classificação dos polígonos pode ser ilustrada pela seguinte árvore:
Polígono
                                     /       \
                                 Simples     Complexo
                                /     \
                           Convexo     Côncavo
                            /
                       Inscritível
                       /    
                  Regular

[editar] Propriedades dos polígonos convexos

  • O número de vértices é igual ao número de lados.
  • De cada vértice de um polígono de n lados, saem n − 3 diagonais (dv).
  • O número de diagonais (d) de um polígono é dado por d = \frac{n(n-3)}{2}, onde n é o número de lados do polígono.
  • A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono de n lados (Si) é dada por (n-2). 180^\circ.
  • A soma das medidas dos ângulos externos de um polígono de n lados (Se) é igual a 360^\circ.
  • Em um polígono convexo de n lados, o número de triângulos formados por diagonais que saem de cada vértice é dado por n − 2.
  • A medida do ângulo interno de um polígono regular de n lados (ai) é dada por \frac{(n-2). 180^\circ}{n}.
  • A medida do ângulo externo de um polígono regular de n lados (ae) é dada por \frac{360^\circ}{n}.
  • A soma das medidas dos ângulos centrais de um polígono regular de n lados (Sc) é igual a 360^\circ.
  • A medida do ângulo central de um polígono regular de n lados (ac) é dada por \frac{360^\circ}{n}.

[editar] Outros polígonos

Alguns polígonos são diferente dos outros, por apresentarem lados cruzados, são eles:

[editar] Estrelado

Polígono formado por corda e ângulos iguais. Pode ser:
  • Falso: Pela sobreposição de Polígonos
  • Verdadeiro: Formado por linhas poligonais fechadas não-simples

[editar] Entrecruzado

Polígono, cujo prolongamento dos lados, ajudam a formar outro polígono.

[editar] Ângulos de um Polígono Regular

Polígono Regular: É o polígono que possui todos os lados congruentes e todos os ângulos internos congruentes.
Para um polígono de n lados, temos que a soma dos ângulos internos (S¡) = (n - 2)\times 180^o\,
Exemplos: Hexágono Regular: 6 lados Cálculo da Soma das medidas dos ângulos internos: S¡ = (6-2) . 180° = 4.180° = 720°
Como o Hexágono é regular: A¡ = 720º/6 = 120° Ae = 180º - 120º = 60°
O ângulo interno mede 120° e o externo, 60°.

[editar] Ver também

  • Poliedro, a generalização para 3 dimensões

[editar] Ligações externas

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